1.1 超平面与分类决策

在二分类问题中，我们有一组训练样本 $\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^{N}$，其中 $x_i \in \mathbb{R}^p$，$y_i \in \{+1, -1\}$。

我们希望找到一个超平面 $w^T x + b = 0$ 将两类样本分开。对于任意样本点 $x_i$，分类决策为：

1.2 函数间隔（Functional Margin）

函数间隔的定义为：

$\hat{\gamma}_i = y_i (w^T x_i + b)$

其含义是：

• 如果分类正确，$y_i(w^T x_i + b) > 0$，函数间隔为正
• $|w^T x_i + b|$ 越大，分类的确信度越高

但函数间隔有一个严重的问题：如果同时将 $w$ 和 $b$ 放大 N 倍，超平面本身完全不变，但函数间隔也会放大 N 倍因此，函数间隔不适合直接作为优化目标。

1.3 几何间隔（Geometric Margin）

几何间隔定义为样本点到超平面的真实距离：

$\gamma_i = \frac{y_i(w^T x_i + b)}{\|w\|}$

几何间隔就是点到超平面的距离。它的绝对值与点到直线的距离公式完全一致。

函数间隔与几何间隔的关系

$\gamma_i = \frac{\hat{\gamma}_i}{\|w\|}$

关键区别：几何间隔对 $w$ 和 $b$ 的缩放是不变的——同时放大 $w$ 和 $b$，几何间隔保持不变。

对于一个包含 $N$ 个点的数据集，分类的确信度与间隔大小正相关。我们希望找到的超平面，不仅要能正确分类，还要让所有样本点都尽可能远离超平面。这样，当新样本到来时，即使有轻微的扰动，也不容易被误分类。

因此，SVM 的目标是最大化最小几何间隔：

$\max_{w,b} \gamma, \quad \text{s.t.} \quad \frac{y_i(w^T x_i + b)}{\|w\|} \geq \gamma, \quad i = 1, 2, ..., N$

其中 $\gamma = \min_i \gamma_i$，即所有样本点中最小的几何间隔。

2.1 原始问题

令 $\hat{\gamma} = \gamma \|w\|$，上述优化目标可改写为：

$\max_{w,b} \frac{\hat{\gamma}}{\|w\|}, \quad \text{s.t.} \quad y_i(w^T x_i + b) \geq \hat{\gamma}, \quad i = 1, 2, ..., N$

由于我们可以通过成比例地缩放 $w$ 和 $b$ 来任意调节 $\hat{\gamma}$，不妨令 $\hat{\gamma} = 1$。于是优化问题变为：

$\max_{w,b} \frac{1}{\|w\|}, \quad \text{s.t.} \quad y_i(w^T x_i + b) \geq 1, \quad i = 1, 2, ..., N$

最大化 $\frac{1}{\|w\|}$ 等价于最小化 $\|w\|$，进一步等价于最小化 $\frac{1}{2}\|w\|^2$（平方和 1/2 是为了后续求导方便）。

于是得到硬间隔SVM的原始问题（Primal Problem）：

$\boxed{\min_{w,b} \frac{1}{2}\|w\|^2}$

$\text{s.t.} \quad y_i(w^T x_i + b) \geq 1, \quad i = 1, 2, ..., N$

2.2 支持向量（Support Vectors）

使约束条件取等号的样本点，即 $y_i(w^T x_i + b) = 1$ 的点，被称为支持向量。

两个异类支持向量到超平面的距离之和为：

$\text{Margin} = \frac{2}{\|w\|}$

最大化间隔 $\frac{2}{\|w\|}$ 等价于最小化 $\|w\|$，这与上述优化目标一致。

3.1 转化为对偶问题的原因

直接求解原始问题虽然可行，但转化为对偶问题有三个重要优势：

1. 更容易求解：对偶问题的约束更简单
2. 自然引入核函数：对偶形式中只出现样本的内积 $x_i^T x_j$，可以用核函数替换
3. 揭示支持向量的本质：只有支持向量对应的拉格朗日乘子非零

3.2 构造拉格朗日函数

对于原始问题，引入拉格朗日乘子 $\alpha_i \geq 0$（$i = 1, 2, ..., N$），构造拉格朗日函数：

$L(w, b, \alpha) = \frac{1}{2}\|w\|^2 - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i \left[ y_i(w^T x_i + b) - 1 \right]$

展开为：

$L(w, b, \alpha) = \frac{1}{2}\|w\|^2 - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i(w^T x_i + b) + \sum_{i=1}^{N} \alpha_i$

3.3 对偶问题的推导

拉格朗日对偶问题为：

$\max_{\alpha} \min_{w,b} L(w, b, \alpha)$

第一步：对 $w$ 和 $b$ 求极小

令 $L(w, b, \alpha)$ 对 $w$ 和 $b$ 的偏导为零：

$\frac{\partial L}{\partial w} = w - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i x_i = 0 \quad \Rightarrow \quad w = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i x_i$

$\frac{\partial L}{\partial b} = -\sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0$

将这两个结果代回拉格朗日函数：

$L(w, b, \alpha) = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \alpha_i \alpha_j y_i y_j (x_i^T x_j)$

第二步：对 $\alpha$ 求极大

得到对偶问题（Dual Problem） ：

$\boxed{\max_{\alpha} \sum_{i=1}^{N} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \alpha_i \alpha_j y_i y_j x_i^T x_j}$

$\text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0, \quad \alpha_i \geq 0, \quad i = 1, 2, ..., N$

3.4 KKT条件

对于SVM这个凸优化问题，KKT条件是原始问题与对偶问题取得最优解的充分必要条件。

KKT条件包含以下四个部分：

（1）原始可行性（Primal Feasibility） ：

$y_i(w^T x_i + b) - 1 \geq 0, \quad i = 1, 2, ..., N$

（2）对偶可行性（Dual Feasibility） ：

$\alpha_i \geq 0, \quad i = 1, 2, ..., N$

（3）互补松弛性（Complementary Slackness） ：

$\alpha_i \left[ y_i(w^T x_i + b) - 1 \right] = 0, \quad i = 1, 2, ..., N$

这个条件极其重要！它意味着：

• 如果 $\alpha_i > 0$，则 $y_i(w^T x_i + b) = 1$ —— 该样本点是支持向量
• 如果 $y_i(w^T x_i + b) > 1$，则 $\alpha_i = 0$ —— 该样本点对模型没有贡献

（4）梯度为零（Stationarity） ：

$w = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i x_i, \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0$

3.5 从对偶解回到原始解

求解对偶问题得到最优的 $\alpha_i^*$ 后，可以恢复原始参数：

$w^* = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i^* y_i x_i$

对于 $b^*$，选择任意一个支持向量（$\alpha_s > 0$），由互补松弛条件：

$y_s(w^{*T} x_s + b^*) = 1$

由于 $y_s^2 = 1$，两边同乘 $y_s$：

$b^* = y_s - w^{*T} x_s$

在实际应用中，为了更鲁棒，通常取所有支持向量的平均值：

$b^* = \frac{1}{|\mathcal{S}|} \sum_{s \in \mathcal{S}} \left( y_s - \sum_{i \in \mathcal{S}} \alpha_i y_i x_i^T x_s \right)$

其中 $\mathcal{S}$ 是所有支持向量的下标集合。

代码实现：

1
import numpy as np
2
from cvxopt import matrix, solvers
3

4
class HardMarginSVM:
5
    """硬间隔SVM（使用CVXOPT求解对偶问题）"""
6

7
    def __init__(self):
8
        self.alpha = None
9
        self.w = None
10
        self.b = None
11
        self.support_vectors = None
12
        self.support_labels = None
13

14
    def fit(self, X, y):
15
        n_samples, n_features = X.shape
16

17
        # 构建对偶问题的二次规划形式
18
        # 最大化: sum(alpha_i) - 0.5 * sum(alpha_i * alpha_j * y_i * y_j * x_i^T x_j)
19
        # 约束: sum(alpha_i * y_i) = 0, alpha_i >= 0
20

21
        # P矩阵: P_ij = y_i * y_j * x_i^T x_j
22
        P = np.outer(y, y) * (X @ X.T)
23
        P = matrix(P.astype(np.float64))
24

25
        # q向量: q_i = -1 (因为cvxopt求解的是最小化)
26
        q = matrix(-np.ones(n_samples).astype(np.float64))
27

28
        # G矩阵和h向量: -alpha_i <= 0 => alpha_i >= 0
29
        G = matrix(-np.eye(n_samples).astype(np.float64))
30
        h = matrix(np.zeros(n_samples).astype(np.float64))
31

32
        # A矩阵和b向量: sum(alpha_i * y_i) = 0
33
        A = matrix(y.reshape(1, -1).astype(np.float64))
34
        b = matrix(np.zeros(1).astype(np.float64))
35

36
        # 求解QP
37
        sol = solvers.qp(P, q, G, h, A, b)
38
        self.alpha = np.array(sol['x']).flatten()
39

40
        # 计算w
41
        self.w = np.sum(self.alpha[:, None] * y[:, None] * X, axis=0)
42

43
        # 找出支持向量 (alpha > 1e-5)
44
        sv_idx = np.where(self.alpha > 1e-5)[0]
45
        self.support_vectors = X[sv_idx]
46
        self.support_labels = y[sv_idx]
47

48
        # 计算b (取支持向量的平均值)
49
        self.b = np.mean([
50
            self.support_labels[i] - self.w @ self.support_vectors[i]
51
            for i in range(len(self.support_vectors))
52
        ])
53
        return self
54

55
    def predict(self, X):
56
        return np.sign(X @ self.w + self.b)

4.1 引入软间隔的原因

硬间隔SVM要求所有样本都能被正确分类且满足 $y_i(w^T x_i + b) \geq 1$。这在现实数据中往往过于苛刻：

• 数据可能线性不可分（即使在高维空间）
• 可能存在噪声或离群点，强制完美分类会导致过拟合

4.2 松弛变量的引入

为了解决这个问题，软间隔SVM为每个样本引入一个松弛变量（Slack Variable） $\xi_i \geq 0$。

约束条件被放松为：

$y_i(w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i, \quad \xi_i \geq 0$

松弛变量 $\xi_i$ 的几何含义是样本点 $x_i$ 到边界 $w^T x + b = \pm 1$ 的距离。

• $\xi_i = 0$：样本点在正确一侧且满足间隔要求
• $0 < \xi_i < 1$：样本点在间隔内但在正确一侧
• $\xi_i = 1$：样本点在超平面上
• $\xi_i > 1$：样本点被误分类（位于超平面的错误一侧）

4.3 软间隔的原始问题

软间隔SVM的优化目标变为：

$\boxed{\min_{w,b,\xi} \frac{1}{2}\|w\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \xi_i}$

$\text{s.t.} \quad y_i(w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i, \quad \xi_i \geq 0, \quad i = 1, 2, ..., N$

其中 $C > 0$ 是惩罚参数，控制着“最大化间隔”和“最小化分类错误”之间的权衡：

• $C \to \infty$：迫使所有样本满足约束，退化为硬间隔
• $C$ 较小时：允许更多样本违反约束，间隔更大，但分类错误可能更多

4.4 软间隔的对偶问题

构造拉格朗日函数（引入 $\alpha_i \geq 0$ 和 $\mu_i \geq 0$）：

$L(w, b, \xi, \alpha, \mu) = \frac{1}{2}\|w\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \xi_i - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i [y_i(w^T x_i + b) - 1 + \xi_i] - \sum_{i=1}^{N} \mu_i \xi_i$

对 $w$、$b$、$\xi_i$ 求偏导并令其为零：

$\frac{\partial L}{\partial w} = w - \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i x_i = 0 \quad \Rightarrow \quad w = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i x_i$

$\frac{\partial L}{\partial b} = -\sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \xi_i} = C - \alpha_i - \mu_i = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha_i + \mu_i = C$

由于 $\mu_i \geq 0$，可得 $0 \leq \alpha_i \leq C$。

代入后得到软间隔SVM的对偶问题：

$\boxed{\max_{\alpha} \sum_{i=1}^{N} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \alpha_i \alpha_j y_i y_j x_i^T x_j}$

$\text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0, \quad 0 \leq \alpha_i \leq C, \quad i = 1, 2, ..., N$

与硬间隔的唯一区别是$\alpha_i$ 的上限从 $+\infty$ 变成了 $C$。

4.5 Hinge Loss

软间隔SVM可以等价地写成一个无约束优化问题：

$\min_{w,b} \frac{1}{2}\|w\|^2 + C \sum_{i=1}^{N} \max(0, 1 - y_i(w^T x_i + b))$

其中 $\max(0, 1 - y_i(w^T x_i + b))$ 就是著名的 Hinge Loss（合页损失） 。

Hinge Loss 的数学定义为：

$L_{\text{hinge}}(z) = \max(0, 1 - z), \quad z = y_i(w^T x_i + b)$

Hinge Loss 的特性：

• 当 $y_i(w^T x_i + b) \geq 1$ 时，损失为 0（样本已经被正确分类且距离足够远）
• 当 $y_i(w^T x_i + b) < 1$ 时，损失线性增加
• 它是分段线性的，在 $z = 1$ 处不可导

松弛变量 $\xi_i$ 与 Hinge Loss 的关系为：

$\xi_i = \max(0, 1 - y_i(w^T x_i + b))$

因此，软间隔SVM的原始问题可以理解为L2正则化 + Hinge Loss。

代码实现：

1
def hinge_loss(y_true, y_pred):
2
    """Hinge Loss: max(0, 1 - y * y_pred)"""
3
    return np.maximum(0, 1 - y_true * y_pred)
4

5
# 示例
6
y_true = np.array([1, -1, 1, -1])
7
y_pred = np.array([0.8, -0.9, 1.5, 0.5])
8
losses = hinge_loss(y_true, y_pred)
9
print(f"Hinge Losses: {losses}")
10
# 输出: [0.2, 0.1, 0. , 1.5]
11
# 解释:
12
# - 第1个样本: 1*0.8=0.8<1, 损失0.2
13
# - 第2个样本: (-1)*(-0.9)=0.9<1, 损失0.1
14
# - 第3个样本: 1*1.5=1.5>=1, 损失0
15
# - 第4个样本: (-1)*0.5=-0.5<1, 损失1.5

5.1 损失函数的差异

SVM和逻辑回归的核心差异在于损失函数不同：

其中 $z = w^T x + b$，$\sigma$ 是 Sigmoid 函数。

5.2 SVM对离群点更鲁棒的原因

Log Loss（逻辑回归）的特性：

• 即使样本被正确分类且距离超平面很远，Log Loss 仍然会持续减小（但不会到零）
• 这意味着每个样本都对模型有影响，离群点会持续拉扯决策边界
• 逻辑回归对噪声和异常点比较敏感，容易过拟合

Hinge Loss（SVM）的特性：

• 一旦样本满足 $y_i(w^T x_i + b) \geq 1$，损失直接降为 0
• 这意味着远离决策边界的样本对模型完全没有影响
• 只有支持向量（位于间隔边界上或间隔内的样本）才决定决策边界
• SVM在决策边界附近的支持向量上更加鲁棒，对噪声的容忍性更好

5.3 几何直觉

• 逻辑回归像一个完美主义者：每个样本都在尽力说服决策边界向自己这边移动。即使一个点已经离边界很远，它仍然在施加影响。一个极端的离群点会把决策边界向自己这边拉很远。

• SVM像一个实用主义者：它只关心临界地带的样本。一旦一个样本离边界足够远（超过间隔），SVM就认为此样本已安全，不再需要考虑。因此，远离边界的离群点根本不影响SVM的决策边界。

5.4 惩罚参数C的作用

SVM的鲁棒性可以通过参数 $C$ 进一步调节：

• 较小的 $C$ ：允许更多样本违反间隔约束，对离群点更宽容，决策边界更平滑
• 较大的 $C$ ：强迫更多样本满足约束，对离群点更敏感，决策边界更曲折

1
from sklearn.svm import SVC
2
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
3
from sklearn.datasets import make_classification
4
import matplotlib.pyplot as plt
5

6
# 生成包含离群点的数据
7
np.random.seed(42)
8
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=2, n_redundant=0,
9
                           n_clusters_per_class=1, random_state=42)
10
# 添加一个离群点
11
X_outlier = np.array([[3.5, -2.5]])
12
y_outlier = np.array([1])
13
X_aug = np.vstack([X, X_outlier])
14
y_aug = np.hstack([y, y_outlier])
15

16
# 训练逻辑回归和SVM
17
lr = LogisticRegression(C=1.0)
18
svm = SVC(kernel='linear', C=1.0)
19
lr.fit(X_aug, y_aug)
20
svm.fit(X_aug, y_aug)
21

22
# 打印系数差异
23
print("逻辑回归系数:", lr.coef_)
24
print("SVM系数:", svm.coef_)
25
# 通常SVM的决策边界受离群点影响更小

5.5 总结对比

总结

概念	数学形式	核心作用
函数间隔	$\hat{\gamma}_i = y_i(w^T x_i + b)$	衡量分类确信度，但对缩放敏感
几何间隔	$\gamma_i = \hat{\gamma}_i / \|w\|$	点到超平面的真实距离，缩放不变
硬间隔原始问题	$\min \frac{1}{2}\|w\|^2$，s.t. $y_i(w^T x_i + b) \geq 1$	线性可分时的最大化间隔
硬间隔对偶问题	$\max \sum \alpha_i - \frac{1}{2}\sum\sum \alpha_i\alpha_j y_i y_j x_i^T x_j$，s.t. $\sum \alpha_i y_i = 0, \alpha_i \geq 0$	更易求解，引入核函数
KKT条件	可行性 + 对偶可行性 + 互补松弛 + 梯度为零	原始与对偶最优解的充要条件
软间隔	$\min \frac{1}{2}\|w\|^2 + C\sum \xi_i$，s.t. $y_i(w^T x_i + b) \geq 1 - \xi_i$	处理线性不可分数据
Hinge Loss	$\max(0, 1 - y_i(w^T x_i + b))$	SVM的损失函数，产生稀疏解
SVM vs LR	Hinge Loss vs Log Loss	SVM只关注支持向量，对离群点更鲁棒

核心要点回顾

1. 函数间隔 vs 几何间隔：函数间隔对 $w$ 和 $b$ 的缩放敏感，而几何间隔是点到超平面的真实距离，是SVM优化的真正目标。
2. 硬间隔SVM：要求所有样本满足 $y_i(w^T x_i + b) \geq 1$，通过最大化间隔（等价于最小化 $\|w\|$）找到最优超平面。
3. 拉格朗日对偶：将原始问题转化为对偶问题，对偶形式中只出现样本内积 $x_i^T x_j$，为核技巧铺平了道路。
4. KKT条件：互补松弛条件 $\alpha_i [y_i(w^T x_i + b) - 1] = 0$ 揭示了SVM的稀疏性——只有支持向量（$\alpha_i > 0$）影响模型。
5. 软间隔与Hinge Loss：通过松弛变量 $\xi_i$ 允许部分样本违反间隔约束，等价于在L2正则化上使用Hinge Loss。参数 $C$ 控制着间隔宽度与分类误差的权衡。
6. SVM vs 逻辑回归：SVM使用Hinge Loss，一旦样本满足间隔要求损失即为0，因此只有支持向量决定决策边界，对离群点更加鲁棒。逻辑回归使用Log Loss，所有样本都持续影响模型，对离群点更敏感。